初二数学上册【角的平分线的性质】练习题（附答案和解析）

一．选择题（共10小题）

1．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则点P到边OB的距离为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

选A

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，是基础题，比较简单，熟记性质是解题的关键．

2．△ABC是一个任意三角形，用直尺和圆规作出∠A、∠B的平分线，如果两条平分线交于点O，那么下列选项中不正确的是（　　）

A．点O一定在△ABC的内部

B．∠C的平分线一定经过点O

C．点O到△ABC的三边距离一定相等

D．点O到△ABC三顶点的距离一定相等

【考点】角平分线的性质．21世纪教育网

【分析】根据角平分线的定义与性质即可判断．

【解答】解：∵三角形角平分线的性质为：三角形的三条角平分线在三角形内部且相交于一点，到三角形三条边的距离相等，

∴A、B、C三个选项均正确，D选项错误．

故选D．

【点评】此题考查了角平分线的性质，熟记性质是解题的关键．

3．如图，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D到AB的距离是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【考点】角平分线的性质．21世纪教育网

【专题】常规题型．>初二数学语文英语）

【分析】由角平分线的性质可得点D到AB的距离等于CD，根据已知求得CD即可．

【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，

∴点D到AB的距离等于CD，

∵BC=10，BD=6，

∴CD=BC﹣BD=10﹣6=4，

∴点D到AB的距离是4．

故选A．

【点评】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB于E，AB=a，CD=m，则AC的长为（　　）

A．2m B．a﹣m C．a D．a+m

【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．21世纪教育网

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”证明Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，再判断出△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得BE=DE，然后根据AE=AB﹣BE计算即可得解．

【解答】解：∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE，

∴AC=AE，

∵∠B=45°，DE⊥AB，

∴△BDE是等腰直角三角形，

∴BE=DE=m，

∵AE=AB﹣BE=a﹣m，

∴AC=a﹣m．

故选B．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键．

5．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=3，BC=5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（　　）

A．7.5 B．8 C．15 D．无法确定

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网

【分析】如图，过点D作DE⊥BC于点E．利用角平分的性质得到DE=AD=3，然后由三角形的面积公式来求△BCD的面积．

【点评】本题考查了角平分线的性质．角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

6．△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，P为三边角平分线的交点，则△ABP，△BCP，△ACP的面积比等于（　　）

A．1：1：1 B．2：2：3 C．2：3：2 D．3：2：2

【考点】角平分线的性质．21世纪教育网

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，然后根据等高的三角形的面积的比等于底边的比解答．

【解答】解：∵P为三边角平分线的交点，

∴点P到△ABC三边的距离相等，

∵AB，BC，CA的长分别为6cm，4cm，4cm，

∴△ABP，△BCP，△ACP的面积比=6：4：4=3：2：2．

故选D．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记性质并判断出点P到△ABC三边的距离相等是解题的关键．>初二数学语文英语）

7．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，已知CD=3，BD=5，则下列结论中错误的是（　　）

A．AC=6 B．AD=7 C．BC=8 D．AB=10

【考点】角平分线的性质．21世纪教育网

【分析】过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质可知CD=DE=3，由勾股定理求出BE的长，再由相似三角形的判定定理得出△BED∽△BCA，故可得出AC及AB的长，在Rt△ACD中，根据勾股定理求出AD的长即可．

【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．

8．如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（　　）（关注公众号：初二数学语文英语）

A．△ABC的三条中线的交点 B．△ABC三边的中垂线的交点

C．△ABC三条高所在直线的交点 D．△ABC三条角平分线的交点

【考点】角平分线的性质；作图—应用与设计作图．21世纪教育网

【分析】由于凉亭到草坪三条边的距离相等，所以根据角平分线上的点到边的距离相等，可知是△ABC三条角平分线的交点．由此即可确定凉亭位置．

【解答】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，

∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．

故选D．>初二数学语文英语）

【点评】本题主要考查的是角的平分线的性质在实际生活中的应用．主要利用了到线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

9．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，则下列结论中不正确的是（　　）

A．BD+ED=BC B．DE平分∠ADB

C．AD平分∠EDC D．ED+AC＞AD

【考点】角平分线的性质．21世纪教育网

【分析】根据已知条件由角平分线的性质可得结论CD=DE，由此又可得出很多结论，对各选项逐个验证，证明．

【点评】本题主要考查平分线的性质，由已知证明△AED≌△ACD是解决的关键．>初二数学语文英语）

10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（　　）

A．M点 B．N点 C．P点 D．Q点

【考点】角平分线的性质．21世纪教育网

【专题】网格型．

【分析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，注意观察点M、N、P、Q中的哪一点在∠AOB的平分线上．

【解答】解：从图上可以看出点M在∠AOB的平分线上，其它三点不在∠AOB的平分线上．

所以点M到∠AOB两边的距离相等．故选A．

【点评】本题主要考查平分线的性质，根据正方形网格看出∠AOB平分线上的点是解答问题的关键．

二．填空题（共10小题）

11．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是　　　　　　．

【考点】角平分线的性质．21世纪教育网

【分析】估计角平分线的性质，可得出△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高相等，估计三角形的面积公式，即可得出△ABD与△ACD的面积之比等于对应边之比．

【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，

∴设△ABD的边AB上的高与△ACD的AC上的高分别为h₁，h₂，

∴h₁=h₂，

∴△ABD与△ACD的面积之比=AB：AC=4：3，

故答案为4：3．

【点评】本题考查了角平分线的性质，以及三角形的面积公式，熟练掌握三角形角平分线的性质是解题的关键．

12．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若AB=6，则点D到AB的距离是　　　　　　．

【考点】角平分线的性质．21世纪教育网

【分析】求出∠ABC，求出∠DBC，根据含30度角的直角三角形性质求出BC，CD，问题即可求出．

【解答】解：∵∠C=90°，∠A=30°，

∴∠ABC=180°﹣30°﹣90°=60°，

∵BD是∠ABC的平分线，

∴∠DBC=∠ABC=30°，

∴BC=AB=3，

∴CD=BC•tan30°=3×=，

∵BD是∠ABC的平分线，

又∵角平线上点到角两边距离相等，

∴点D到AB的距离=CD=，

故答案为：．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．>初二数学语文英语）

13．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AB=4，且点D到BC的距离为3，则BD=　　　　　　．

【考点】角平分线的性质．21世纪教育网

【分析】根据角平分线的性质得到AD=3，由勾股定理求得BD．

【解答】解：∵∠A=90°，

∴DA⊥AB，

∵BD平分∠ABC，点D到BC的距离为3，

∴AD=3，

∵AB=4，

∴BD==5．

【点评】本题主要考查了角平分线的性质，由已知能够注意到D到BC的距离即为DE长是解决的关键．

14．如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AD=8．对角线BD⊥CD，P是BC边上一动点，连结PD．若∠ADB=∠C，则PD长的最小值为　　　　　　．

【考点】角平分线的性质；垂线段最短．21世纪教育网

【分析】根据垂线段最短，当DP垂直于BC的时候，DP的长度最小．结合已知条件，利用三角形的内角和定理推出∠ABD=∠CBD，由角平分线性质即可得AD=DP，由AD的长可得DP的长．

【解答】解：根据垂线段最短，当DP⊥BC的时候，DP的长度最小．

∵BD⊥CD，即∠BDC=90°，又∠A=90°，

∴∠A=∠BDC，又∠ADB=∠C，

∴∠ABD=∠CBD，又DA⊥BA，BD⊥DC，

∴AD=DP，又AD=8，

∴DP=8．

故答案为：8

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．

15．如图，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB．交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6，△DEB的周长为　　　　　　．

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

【分析】分析已知条件，根据勾股定理可求得CA的长，△CAD≌△EAD，则DE=DC，在△BED中，BE=AB﹣AE，DE=DC，△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB．

【解答】解：△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AB=6

根据勾股定理得2CB²=AB²，∴CB=3，

∵AD平分∠CAB

∴∠CAD=∠EAD

∵DE⊥AB

∴∠DEA=90°=∠C

∴△CAD≌△EAD（AAS）

∴AC=AE=3，DE=CD

∴EB=AB﹣AE=6﹣3

故△DEB的周长为：BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+CB=6﹣3+3=6．

【点评】此题考查了全等三角形的判定及性质，应用了勾股定理，三角形周长的求法，范围较广．

16．（2015春•晋江市期末）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=　　　　　　（度）．

【考点】角平分线的性质．21世纪教育网

【分析】根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得答案．

【解答】解：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，

∴BD平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠DBC，

∵∠DBC=50°，

∴∠ABC=100°，

故答案为：100．

【点评】此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上．

17．（2015秋•蓟县期中）如图，在Rt△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若△BDE的周长为8，则AB的长为　　　8　　　．

18．（2015秋•镇海区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于E，若S△ABC=60cm2，AB=12cm，BC=18cm，则S△DBC=　　　　　　，DE=　　　　　　．

【考点】角平分线的性质．21世纪教育网

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点D到AB的距离等于点D到BC的距离，即DE的长度，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S_△ABD：S_△DBC，然后求解即可，再利用三角形的面积公式列式计算即可求出DE．21教育名师（关注公众号：初二数学语文英语）原创作品

【解答】解：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，

∴点D到AB的距离等于点D到BC的距离，即DE的长度，

∵AB=12cm，BC=18cm，

∴S_△ABD：S_△DBC=AB：BC=12：18=2：3，

∵S_△ABC=60cm²，

∴S_△DBC=60×=36cm²，

∵DE⊥BC，

∴BC•DE=36，

即×18•DE=36，

解得DE=4cm．

故答案为：36cm²；4cm．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，等高的三角形的面积的比等于底边的比，熟记各性质是解题的关键．

19．（2014秋•定兴县期末）如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，E，F分别为垂足，①PE=PF，②AE=AF，③

∠APE=∠APF，上述结论中正确的是　　　　　　（只填序号）．

20．（2013秋•石家庄期末）如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，△ABC的面积是　　　　　　．

【考点】角平分线的性质．21世纪教育网

【分析】先根据角平分线的性质求得PE=PF，再利用全等即可判定．

【解答】解：∵点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB，PF⊥AC

∴PE=PF

∴Rt△APE≌RT△APF（HL）

∴AE=AF，∠APE=∠APF

故填①②③．

【点评】本题主要考查平分线的性质及三角形全等的判定及性质；由已知求得Rt△APE≌RT△APF是解决的关键．

三．解答题

21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于点D，过点D作DE⊥AB于点E．

（1）求证：AC=AE；

（2）若点E为AB的中点，CD=4，求BE的长．

【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质．21世纪教育网

【分析】根据题意画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的判定和性质证明结论．

【点评】本题考查的是角平分线的判定的证明，灵活运用直角三角形全等的判定定理是解题的关键

22．现要在三角地ABC内建一中心医院，使医院到A、B两个居民小区的距离相等，并且到公路AB和AC的距离也相等，请确定这个中心医院的位置．

【考点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图—应用与设计作图．21世纪教育网

【分析】根据线段垂直平分线性质作出AB的垂直平分线，根据角平分线性质作出∠BAC的角平分线，即可得出答案．

【解答】解：

作AB的垂直平分线EF，作∠BAC的角平分线AM，两线交于P，

则P为这个中心医院的位置．

【点评】本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质的应用，主要考查学生的理解能力和动手操作能力