数学分析（第二版）

本书全面展现了微积分发展各阶段的重要成果，内容丰富，语言精炼。本书特别注意理论与实际相结合，古典分析方法与现代分析方法相结合，采用严格而又自然的证明方法，辅以丰富的实例和精选的习题，以使学生得到充分的学术训练。第二版对重要概念引进的动机部分进行了完善，注重传授分析学的思想方法。

全书共分十五章，可供三学期教学之用。前五章讨论一元微积分，引入了连续函数的积分并得到微积分基本公式，进而讨论了积分在经典不等式证明方面的应用；第六章讨论黎曼积分及其推广，特点是与数列的极限理论对比发展，并且引入了零测集的概念，以更透彻地刻画可积函数；第七章至第九章介绍各种级数理论，除了对级数理论中的各种判别法做了更精炼的处理外，还安排了若干重要的应用，包括在近似计算和数论方面的应用；第十章起是多元微积分的内容，特点是较多地使用线性代数的语言来处理多元微分学中的重要结果（包括中值定理、反函数定理、拉格朗日乘数法等），以及更好地处理积分学中的重要结果（如可积性的刻画、变量替换公式、各种积分之间的关系等）。

本书在南京大学数学系使用多年，可作为综合性大学数学类专业数学分析课程的教材或教学参考书，特别适用于国家理科基地班的微积分教学，还可供科技工作者参考。

第二版修订内容简介：第一章进行了全面改写。从求和谈起，逐渐引入积分问题。强调了将求和转化为求差的基本想法，为积分和微分这一对矛盾的互相转化埋下了伏笔。在这一章的附录中还简要介绍了指数函数和对数函数的定义。第二章变化不大，对实数系基本性质的证明次序做了调整，Baire纲定理移到第十章中进行了统一处理。第三章对连续函数的积分给出了新的处理方法，这里强调了积分与求和之间的联系，求和与求平均值之间的联系。利用积分很快给出了算术一几何平均值不等式、Young不等式以及Holder不等式的证明。利用积分和平均值之间的联系，还讨论了Weierstrass逼近定理以及Bernstein多项式。第四章中，很快就给出了Newton-Leibniz公式的证明，紧接着就讨论积分的计算，因此也就不用再重点介绍不定积分了。第五章中，对于凸函数引进了支撑线的概念，它可以加深对凸函数的直观认识。在函数作图中增加了简单的曲线作图，从而为积分的几何应用做了一点准备。在进一步的应用举例中，调整了Stirling公式的证明，使它显得更加自然一些。此外还将积分的近似计算调整到了这里。第六章是由第一版第六章和第七章合并优化而来的。第三章中连续函数积分的处理和第四章中Newton-Leibniz公式的处理为这种优化提供了基础。在Riemann积分的基本性质中，强调了阶梯逼近和分段线性逼近的思想，重新处理了分部积分和积分第二中值定理。在积分的几何应用中，还介绍了等周不等式。第七章注重无穷级数和广义积分之间的联系，由此可以统一处理许多结果。鉴于无穷乘积的重要性，将它单独成节。在补充内容中，还简单地讨论了Abel求和、Cesaro求和以及Tauber型定理。第八章考虑了广义积分与求极限次序的可交换性，为第十五章中无穷区间上广义积分可交换次序问题的简单解决做了准备。第九章利用分段线性逼近的思想给出了Parseval等式的简单证明。在进一步的讨论中还给出了周期的Holder函数的Fourier级数的一致收敛性。为了讨论Fourier系数的唯一性，还介绍了Arzela的有界收敛定理。第十章关于度量空间的内容做了重要的调整，现在可以在更少的课时内讲授完。还介绍了压缩映射原理和Baire纲定理在研究处处连续但无处可导函数方面的应用。第十一章增加了Lagrange乘数法的几何解释，在补充材料中还介绍了一般欧氏空间中的外积运算，为超曲面的定向和面积元的计算做了准备。第十二章和第十三章的内容仅做了一些微调。第十四章关于微分形式的内容做了较大的改写。强调了场的观念，增加了微分形式与线性代数之间的联系。在Gauss-Green公式的应用中增加了Brouwer不动点定理和毛球定理。第十五章关于含参变量积分性质的证明做了不少优化。对于Gamma函数，还给出了Stir-ling渐近公式的简单证明。在Fourier分析的应用中，还介绍了处理Weierstrass函数的新方法，并且简要讨论了Riemann-Zeta函数。第二版全书共十五章，分三个学期讲授时每学期安排五章可以讲完。除了正文内容之外，书中习题也做了部分更新和调整。为了鼓励学生刻苦钻研，去掉了原少数习题前的星号标记。