小学奥数知识点每日一课：5年级包含与排除解题思路

这次的内容我们讲运用容斥原理解答稍复杂的包含与排除问题。

容次原理有两个基本的公式，具体可以看前面的内容。

小学思维数学：容斥原理（4年级）

今天主要讲的是第二个公式，如果被计数的事物有A、B、C三类，则：

三类元素总个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类又是C类的元素个数。

【原理证明】

如下图，三个圆片两两重叠，用红色圆片面积表示A类事物元素个数、黄色圆片面积表示B类事物元素个数、蓝色圆片面积表示C类事物元素个数，三个圆片覆盖的总面积就表示三类元素的总个数：

A、B、C三个圆片共同重叠的正中间的一块，覆盖了三层圆片，重叠了2次；剩下的重叠部分都覆盖了两层圆片，重叠了1次。

三个圆片覆盖的总面积就等于三个圆片的面积之和减去重叠部分的面积，重叠1次的减去重叠面积，重叠2次的减去重叠面积的2倍。

但用三个圆片的总面积依次减去AB的重叠部分、AC的重叠部分和BC的重叠部分，重叠1次的面积正好减去了，可三个圆片共同重叠的部分既属于AB的重叠部分，也属于AC的重叠部分，同时属于BC的重叠部分。这一块儿面积重叠2次，却减去了3次，多减了1次，要补上去。

所以：三类元素总个数= A类元素个数+B类元素个数+C类元素个数—既是A类又是B类的元素个数—既是A类又是C类的元素个数—既是B类又是C类的元素个数+既是A类又是B类又是C类的元素个数。

我们毕业了

例题1：

在参加数学竞赛的46人中，做对第二题的有32人，做对第4题的有24人，两道题都做对的有20人，两道题都没有做对的有几人？

【解析】：

如下图：

用做对第2题与做对第4题的人数和，减去两题都做对的人数（重叠部分），求出的就是这两题中至少做对了一题的人数：

32+24-20=36（人）。

所以这两道题都没有做对的人数为：

46－36=10（人）。

例题2：

某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名男生，该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科都参加了，那么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？

【解析】：

先求出既参加了语文竞赛又参加了数学竞赛的男女生总人数：

（120＋80）×2－260＝140（人）。

所以既参加了语文竞赛又参加了数学竞赛的女生人数为：

140－75=65（人）。

即参加数学竞赛的女生中有65人同时参加了语文竞赛，则只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有：

80－65＝15（人）。

例题3：

如图，在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片，它们的面积都是50平方厘米，三个圆片共同重叠的面积是12平方厘米，三个圆片盖住桌面的总面积是92平方厘米。问图中阴影部分面积是多少平方厘米？

【解析】：

三个圆片两两重叠，中间三个圆片共同重叠的部分重叠了2次；阴影部分只有两个圆片叠放，这部分重叠了1次。

先求出重叠的总面积为：

50×3－92＝58（平方厘米）。

再用重叠的总面积减去中间重叠了两次的面积，剩下的就是阴影部分面积：

58－12×2＝34（平方厘米）。

例题4：

如图，小飞骑自行车去游玩A，B，C三个景点，他如果从A地出发，经过B地到C地，共行10千米；如果从B地出发，经C地到达A地，共行13千米；如果从C地出发，经A地到达B地，共行11千米，问哪两个景点之间的距离最短？最短的距离是多少千米？

【解析】：

由题意可知：

AB＋BC＝10千米；BC＋AC＝13千米；AC＋AB＝11千米；

这三条路线的长度之和就等于图中三角形三边和的2倍。

所以：AB＋BC＋AC＝（10＋13＋11）÷2＝17（千米）

根据三边总和和两边之和，可以求出第三边，三边总和是一定的。

根据题目给出的条件，可知A、B两个景点之间的距离最短，最短距离是：

17－13＝4（厘米）。

例题5：

某单位有64人订A,B,C三种杂志，订A种杂志的有28人，订B种杂志的有41人，订C种杂志的有20人，订A,B两种杂志的有10人，订B,C两种杂志的有12人，订A,C两种杂志的有12人，问三种杂志都订的有多少人？

【解析】：

假设三种杂志都订的有x人，根据容斥原理二，可得：

64＝28+41+20-10-12-12+x

解得：x＝9

所以，三种杂志都订的有9人。

例题6：

体育课上，50名学生面向老师站成一行，按老师的口令从左到右报数1，2，3，……，50，报完后老师让所有报数是4的倍数的同学向后转，接着又让报数是6的倍数的同学向后转，问现在仍然面向老师的有多少同学？

【解析】：

报数是4的倍数的同学有：50÷4＝12（人）……2

报数是6的倍数的同学有：50÷6＝8（人）……2

12既是4的倍数，也是6的倍数，所有12的倍数都是4的倍数，也是6的倍数。

所以这50名同学中报数即使4的倍数，又是6的倍数的同学有：

50÷12＝4（人）……2

向后转的同学总人数就是报数是4的同学人数与报数是6的同学人数之和减去重复计算的既是4的倍数又是6的倍数的同学人数：

12＋8－4＝16（人）。

所以，现在仍然面向老师的同学有：

50－16=34（人）。