水池的注水或排水相当于一项工程,注水量或排水量就是工作量,单位时间里的注水量或排水量就是工作效率,水管工程问题与一般工程问题的解题思路基本相同。
注入与排出同时存在的水管工程问题与牛吃草问题有相通之处,进水量相当于新生草量、出水量相当于牛吃掉的草量、池里原有水量(可以为0)相当于原有草量。解题时可以借鉴牛吃草问题的解题思路。
例题1:
一个水池有甲、乙两个进水管。单开甲管1/6小时能注满水池,单开乙管1/10小时能注满水池。如果甲、乙两管同时开启,多少分钟后水池还有1/5尚未注满?
【解析】:
这一题以1分钟作为单位时间:1/6小时=10分钟,1/10小时=6分钟。
把注满一池水的工作量看作单位“1”,甲进水管的工效为1/10,乙进水管的工效为1/6,需要完成的工作量为:(1-1/5)。
所以甲、乙两管同时开启,完成这件工作的时间为:
(1-1/5)÷(1/10+1/6)=3(分钟)。
例题2:
某水池可以用甲、乙两水管注水,单放甲管需12小时注满,单放乙管需24小时注满。现在规定10小时内必须注满水池,那么甲、乙两管同时注水时间至少要几小时?
【解析】:
把工作总量看作单位“1”,甲管的工效为1/12,乙管的工效为1/24,甲管的工效更高。
10小时注满,要使两管同时注水时间尽可能少,应把工效高的甲管开满10小时,不足部分由乙管注入,乙管注水时间就是两管同开时间,两管同时注水时间最少为:
(1-10×1/12)÷1/24=4(小时)
例题3:
一个水池,甲、乙两管同时开,5小时灌满;乙、丙两管同时开,4小时灌满。如果乙管先开6小时,还需要甲、丙两管同时开2小时才能灌满(这时乙管关闭),那么乙管单独灌满水池需要多少小时?
【解析】:
把灌满一池水的工作量看作单位“1”,则甲、乙两管同开的工效为1/5,乙、丙两管同开的工效为1/4。
“乙管先开6小时,甲、丙两管再同时开2小时”,相当于甲、乙先同开2小时,乙、丙再同开2小时,最后乙再单独开2小时。
根据以上分析,可以先求出乙管单独开2小时的工作量:
1-2×1/5-2×1/4=1/10
再根据工作时间与工作量的比例关系,求出乙管单独灌满水池需要的时间:
2÷(1-2×1/5-2×1/4)=20(小时)。
例题4:
一个水池,甲、乙两管同时开,50小时灌满;乙、丙两管同时开,40小时灌满。现在先开乙管50小时,还需要甲、丙两管同时开20小时才能灌满(这时乙管关闭),乙单独开几小时可以灌满?
【解析】:
解法一:与上一题同理。
把灌满一池水的工作量看作单位“1”,则甲、乙两管同开的工效为1/50,乙、丙两管同开的工效为1/40。
“先开乙管50小时,还需要甲、丙两管同时开20小时”,相当于甲、乙先同开20小时,乙、丙再同开20小时,最后乙再单独开10小时。
先求出乙管单独开10小时的工作量,再根据工作时间与工作量的比例关系,求出乙管单独灌满水池需要的时间:
10÷(1-20×1/50-20×1/40)=100(小时)。
解法二:列方程求解。
假设乙单独开x小时可以灌满水池,由题意可得:
50×1/x+20×(1/50-1/x+1/40-1/x)=1
解得:x=100
例题5:
一个水池安装了甲、乙两根进水管,在同样的时间内,乙管的进水量是甲管的1.6倍。为了灌满空着的水池,开始由甲管灌入1/5池水,然后关闭甲管,打开乙管,由乙管单独灌满剩下的水,共用12分15秒,问甲管开了多长时间?
【解析】:
12分15秒=49/4分钟
把灌满一池水的工作量看作单位“1”,乙管所灌的剩下的水量为:
1-1/5=4/5
“同样的时间内,乙管的进水量是甲管的1.6倍。”即乙管的工效是甲管的1.6倍。工作量一定,工效和工作时间成反比,可以推出灌满一池水甲管所用的时间是乙管的1.6倍。
假设乙管灌满一池水需要x分钟,则甲管需要1.6x分钟,由题意可得:
1.6x×1/5+x×4/5=49/4
解得:x=175/16
所以甲管的开放时间为:
1.6×(175/16)×1/5=3.5(分钟)
例题6:
蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水,单开甲管要3小时,单开丙管要5小时。要排光,单开乙管要4小时,单开丁管要6小时。现知池内有1/6池水,如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流开1小时,问多长时间后,水开始溢出水池?
【解析】:
4个小时一个周期,先求出一个循环周期的进水量情况:
第1个小时后,水池中存水量增加:1/3
每4个小时后,水池中存水量增加:1/3-1/4+1/5-1/6=7/60
分析上面的情况,每个周期水池的水量会增长7/60,但只要水池中不足水量为不超过1/3,即水量达到2/3,在下一个周期里,就可以直接由甲管注满。
池中已有水量为1/6,且空出1/3的容积:
(1-1/6-1/3)÷7/60=4又2/7
即需要5个周期后水池的水量才能达到2/3。
第6个周期的进水量情况:
需要注入水量:1-1/6-5×7/60=1/4
甲管还需要注水时间:1/4÷1/3=3/4(小时)
所以,从开始到水溢出共需时间:
4×5+3/4=20又3/4(小时)
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