小学奥数知识点每日一课：3年级简单的鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中有几只鸡和几只兔？”

这类问题其实就是典型两个等量关系，两个未知数，在初中阶段可以列二元一次方程组解题。而在小学阶段主要是学习这类问题的算术解法。

关于这个问题的解法，《孙子算经》中记载的“砍足法” 新颖而奇特，令古今中外数学家赞叹不已。思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”。这样笼子里每有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1。

因此，现在脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数：47－35＝12（只）；鸡的只数就是：35－12＝23（只）了。总结为公式就是：兔的只数=总脚数÷2—总头数；鸡的只数=总只数—兔的只数。

小学阶段的许多算术应用题都可以转化成这类问题来求解，因此很有必要学习这类问题的解法。同时，熟悉此类问题数量关系，也为初中学习这类问题的代数解法打好基础。

鸡兔同笼问题最常用的是假设法解题，即假设笼中全是鸡（或全是兔），以此为突破口，展开推理、计算。总结为公式就是：

（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数 ；

总只数－鸡的只数=兔的只数 。

或：（ 总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数 ；

总只数－兔的只数=鸡的只数。

低年级孩子学习比较简单的鸡兔同笼问题，还可以采取图示法，引导孩子学会通过画图帮助解题。

例题1：

 鸡兔同笼，共有9个头，26只脚，笼中鸡、兔各有多少只？

【解析】：

如下图，我们先画出9个圆圈表示9个头，再给每个头添上两只脚（红色斜线），共18只脚，26只脚中还多出8只脚，就是每只兔子少了两只脚，再给每只兔子添上两只脚：

从图中可以看出：

9个头，每个头配两只脚共有脚：2×9=18（只）；

剩下脚：26-18=8（只）；

每只兔子需要补上2只脚，所以笼中有兔子：8÷（4-2）=4（只）；

所以笼中有鸡：9-4=5（只）。

例题2：

 演艺厅共有座位200个，高档的座位票每张40元，中档座位票每张25元。已知高档座位票比中档座位票的总价少1100元。问该演艺厅的高档、中档座位各有多少个？

【解析】：

假设演艺厅200个座位都是中档票，则中档票总价为：25×200=5000（元），高档票总价为0元，高档座位票总价比中档座位票少5000元。与实际高档座位票比中档座位票的总价少1100元，相差：5000-1100=3900（元）。

这里相差的3900元，就是因为一些高档座位票的当成中档座位票计算了，每张高档座位票算成中档座位票，高档座位票的价格就减少40元，中档座位票的价格就增加25元，两种票价的差额就增加：40+25=65（元）。

所以，高档座位票有：3900÷65=60（张）。

所以中档座位票有：200-60=140（张）。

例题3：

一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？

【解析】：

这一题邮票的单价和总价单位不一致，首先要换算成统一的单位，可以是元、角、分，选择角作单位比较合适：10分=1角；20分=2角；18元8角=188角。

解法一：假设买100张1角的邮票，总值为100角，比实际总值减少：188-100=88（角）。每张2角的邮票假设成1角的邮票，总值就减少1角，因此共有2角邮票88张；有1角邮票：100-88=12（张）。

解法二：假设买100张2角的邮票，总值为200角，比实际总值增加：200-188=12（角）。每张1角的邮票假设成2角的邮票，总值就增加1角，因此共有1角邮票12张；有2角邮票：100-12=88（张）。

例题4：

 三年级举行智力竞赛，共有30道试题，规定做对一题得5分，不做或做错一题都倒扣3分。陈辰最终得了102分。问他做对了多少题？

【解析】：

假设30道题全做对，可得分：30×5=150（分）；

比实际得分多了：150-102=48（分）；

每做错或不做一道题假设成做对，就由扣3分变成得5分，总分增加了：5+3=8（分）；

所以他做错题：48÷8=6（道）；做对题：30-6=24（道）。

例题5：

 100个和尚吃100个馒头，大和尚每人吃4个，小和尚每4人吃一个，问大和尚和小和尚各有多少人？

【解析】：

解法一：1个大和尚和4个小和尚一组，5个和尚共吃5个馒头。100个和尚可以分成：100÷5=20（组）。

所以有大和尚20人；小和尚：20×4=80（人）。

解法二：一个大和尚能吃4个馒头，相当于16个小和尚吃的馒头：4×4=16（人）；

假设都是小和尚吃100个馒头，需要：100×4=400（人）；

比实际人数增加：400-100=300（人）；

每个大和尚看作小和尚，就增加了：16-1=15（人）；

所以有大和尚：300÷15=20（人）；

小和尚：100-20=80（人）。

例题6：

 松鼠妈妈采松籽，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个。它一连几天共采112个松籽，平均每天采14个，问这几天当中有几天下雨?

【解析】：

 首先要求出松鼠妈妈采了多少天：112÷14=8（天）；

要求出雨天有几天，应假设8天都是晴天，可以先求出雨天的天数：

（8×20-112）÷（20-12）=6（天）。